Sinüs Kosinüs Yarım Açı Formülleri

Sinüs ve Kosinüs Yarım Açılı Formüller

Sinüs ve kosinüs yarım açılı formülleri, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının yarım açılar için değerlerini bulmak için kullanılan trigonometrik formüllerdir. Bu formüller, trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplamak için sıklıkla kullanılır ve birçok matematiksel ve fiziksel uygulamada önemlidir.

Sinüs Yarım Açılı Formülü

$$sin(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 – cos(\theta)}{2}}$$

Kosinüs Yarım Açılı Formülü

$$cos(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + cos(\theta)}{2}}$$

Formüllerin Türetilmesi

Sinüs ve kosinüs yarım açılı formülleri, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının toplam ve fark formüllerinden türetilebilir.

Toplam Formülü

$$sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)$$

Fark Formülü

$$sin(a – b) = sin(a)cos(b) – cos(a)sin(b)$$

Türetim

Toplam formülünde, $$a = \frac{\theta}{2}$$ ve $$b = \frac{\theta}{2}$$ olarak alalım.

$$sin(\frac{\theta}{2} + \frac{\theta}{2}) = sin(\frac{\theta}{2})cos(\frac{\theta}{2}) + cos(\frac{\theta}{2})sin(\frac{\theta}{2})$$

$$sin(\theta) = 2sin(\frac{\theta}{2})cos(\frac{\theta}{2})$$

Fark formülünde, $$a = \frac{\theta}{2}$$ ve $$b = -\frac{\theta}{2}$$ olarak alalım.

$$sin(\frac{\theta}{2} – (-\frac{\theta}{2})) = sin(\frac{\theta}{2})cos(-\frac{\theta}{2}) – cos(\frac{\theta}{2})sin(-\frac{\theta}{2})$$

$$sin(\theta) = 2sin(\frac{\theta}{2})cos(\frac{\theta}{2})$$

1. ve 2. adımlardan,

$$sin(\theta) = 2sin(\frac{\theta}{2})cos(\frac{\theta}{2})$$

olduğunu elde ederiz.

Bu eşitliği ikiye bölersek,

$$sin(\frac{\theta}{2})cos(\frac{\theta}{2}) = \frac{1}{2}sin(\theta)$$

olur.

Bu eşitliği, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının kareleri toplamının 1’e eşit olduğu gerçeğiyle birleştirirsek,

$$sin^2(\frac{\theta}{2}) + cos^2(\frac{\theta}{2}) = 1$$

olur.

Bu eşitliği, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının yarım açılı formüllerini elde etmek için kullanabiliriz.

$$sin(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 – cos(\theta)}{2}}$$

$$cos(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + cos(\theta)}{2}}$$

Formüllerin Kullanımı

Sinüs ve kosinüs yarım açılı formülleri, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının değerlerini hesaplamak için sıklıkla kullanılır. Bu formüller, birçok matematiksel ve fiziksel uygulamada önemlidir. Örneğin, üçgenlerin kenar uzunluklarını ve açılarını hesaplamak için, dalgaların davranışını modellemek için ve elektrik devrelerinin analizinde kullanılırlar.

Faydalı Siteler ve Dosyalar